Андрей Прибыльский — воспитанник хоккейной школы «Динамо» им. А. И. Чернышева.

Профессиональную карьеру начал в молодежной команде «Динамо» в 2017 году. Выступал за фарм-клуб бело-голубых — воронежский «Буран», а также за основную команду московского «Динамо» в КХЛ.

В сезоне 2020/21 в составе команды МХК «Динамо» Москва стал обладателем Кубка Харламова, отличившись 6 результативными передачами и 1 заброшенной шайбой.

Перед началом сезона 2023/24 на счету Андрея Прибыльского 75 игр в КХЛ и 4 (1+3) очка при показателе полезности «-4».