Иван Кульбаков начал карьеру в белорусском Гомеле. Выступая за «Гомель-2», участвовал в юношеском (U18) чемпионате мира. В 19 лет хоккеист попал в команду U20 и, проявив себя, отправился в Северную Америку. Там он выступал за «Янгстаун» Хоккейной лиги США, «Кливленд» Американской хоккейной лиги и чаще всего за «Куод-Сити» Хоккейная лиги Восточного побережья. В сезоне 2018/19 вратарь играл в клубах «Ютика Кометс» (АХЛ), «Каламаза Уингз», а также провел два матча на чемпионате мира в составе национальной сборной Беларуси.

В следующем сезоне Кульбаков покинул США, чтобы проявить себя в российских лигах. Вратарь провел 23 игры в «Нефтянике» ВХЛ и дебютировал в составе «Сочи» КХЛ — 90,5% отраженных бросков за 12 матчей. В сезоне 2021/22 хоккеист остался в КХЛ, но уже в составе подмосковного «Витязя» на условиях пробного контракта, провел три матча, пропустив в них восемь шайб и отразив 116 бросков (93,5%).