Хоккеем начал заниматься в г. Вольске Саратовской области. Первым клубом в профессиональной карьере стал саратовский «Кристалл».

Сезон 2006/2007 хоккеист провёл не менее уверенно, а через год завоевал свой первый в карьере титул — чемпиона России. Благодаря своей уверенной игре Кутейкин стал рассматриваться как один из основных претендентов на участие в чемпионате мира 2008 года. В основной состав победившей на турнире команды Андрей пробиться не сумел. В сезоне 2012/2013 о подписании Андрея Кутейкина сообщил хоккейный клуб СКА.

В регулярном чемпионате сезона 2013/2014 провел на льду 30 игр, заработав пять очков (1+4), в плей-офф провел одну не результативную игру. В сезоне 2014/2015 суммарно провел 68 игр, в регулярном чемпионате забросив 11 шайб и сделав 13 результативных передач, а в плей-офф – забросив одну шайбу и сделав две передачи. В сезоне 2015/2016 провел 38 игр за питерское СКА, всего забросив шесть шайб и оформив восемь передач.

Сезон 2016/2017 Кутейкин провел сначала в омском «Авангарде» (20 игр – одна шайба и пять передач), а после в стане бело-голубых, отметившись сколько не неплохой статистикой – на 22 игры в регулярном чемпионате приходятся четыре шайбы и пять передач, в плей-офф 10 игр, три шайбы и одна передача, а мощным броском от красной линии.