Оскар Линдберг начал карьеру в родном городе Шеллефтео в Швеции.

За свои 28 лет хоккеист приобрел огромный опыт в профессии. Оскар прошёл через всю систему подготовки национальных команды Швеции. В 2009 году он принимал участие в юниорском чемпионате мира, а позже сыграл на мировом форуме за молодёжную сборную. На юниорском мировом первенстве игру Линдберга отметили скауты «Финикс Койотс», и в 2010 году хоккеист был выбран во втором раунде драфта НХЛ под 57-м номером. Примечательно, что в том же году хоккеиста выбрал «Спартак» под 178-м номером на Ярмарке юниоров КХЛ — российском аналоге драфта НХЛ. Права на хоккеиста в КХЛ принадлежали красно-белым в течение 10 лет, однако московский клуб ими не воспользовался. В 2013 и 2017 годах Оскар Линдберг в составе сборной Швеции стал чемпионом мира.

Позже игрок перебрался в Северную Америку и на протяжении пяти сезонов с 2015 года по  2020 год выступал в клубах Национальной хоккейной лиги «Нью Йорк Рейнджерс», «Вегас Голден Найтс» и «Оттава Сенаторс».

В минувшем сезоне Линдберг выступал за швейцарский «Цуг». В регулярном чемпионате Швейцарии сезона-2019/2020 форвард принял участие в 46 матчах, записав на свой счёт 30 (14+16) баллов при показателе полезности «+5» и 91 минуте штрафного времени.

8 мая хоккеист покинул «Цуг» и подписал соглашение с московским «Динамо», которое рассчитано на один год и носит односторонний характер.

Перед началом сезона 2021/22 на счету Оскара Линдберга нет 54 проведенных матча и 40 набранных очков (14+26) в Чемпионате КХЛ.