Александр Кучерявенко начал свою профессиональную карьеру после окончания спортшколы «Русь» в 2004 году в составе московского «Спартака».

В 2006 году Александр подписал контракт с уфимским «Салаватом Юлаевым», однако в новом клубе он не получал достаточно игрового времени, и в середине сезона 2007/2008 Кучерявенко был отдан в аренду петербургскому СКА. По окончании сезона руководство армейского клуба приняло решение выкупить права на игрока, после чего Александр отметился 19 (8+11) очками в 54 проведенных матчах.

Воспитанник московского хоккея дебютировал в КХЛ в составе петербургского СКА в 2008 году, где провел шесть сезонов. Также Кучерявенко выступал за подмосковный «Витязь», омский «Авангард» и екатеринбургский «Автомобилист». Нынешним летом хоккеист подписал контракт с нижнекамским «Нефтехимиком».

Всего в Континентальной хоккейной лиге Кучерявенко провел 571 матч и набрал 249 (95+154) очков.

В составе сборной России Александр Кучерявенко принимал участие в юниорском чемпионате мира 2005 года, а также в чемпионате мира среди молодежи в 2007 году, на котором он вместе с командой завоевал серебряные награды.

В результате обмена между московским «Динамо» и «Нефтехимиком» хоккеист пополнил ряды бело-голубых в сезоне 2020/21.