Магнус с раннего детства начал заниматься хоккеем и уже в 16 лет дебютировал в шведской лиге за «Мальме». На молодежном чемпионате мира 2008 года стал самым молодым игроком, когда-либо выступавшим за сборную Швеции U20. В 18 лет он дебютировал и за взрослую сборную, приняв участие в матчах Евротура.
В 2009-м хоккеист был задрафтован «Эдмонтоном» в первом раунде под общим 10 номером. Заокеанская карьера шведа началась в рядах «нефтяников» в сезоне 2010/11. Затем были пять сезонов в «Сент-Луисе» бок о бок с Иваном Барбашевым, Владимиром Тарасенко и Никитой Сошниковым. Там же Пяярви пересекался с Дмитрием Яшкиным.
В НХЛ Магнус, как и Дмитрий, раскрыться в полной мере не смог, в основном выполняя роль чекера. Всего в 478 поединках он набрал 128 (63+65) очков. В сезоне 2017/18 «Блюзмены» выставили его на драфт отказов, откуда нападающего забрала «Оттава». В составе «Сенаторз» Свенссон, к слову, поиграл с Оскаром Линдбергом, причем в одном звене. В Канаде Магнус задержался всего на год, в прошлом сезоне подписав контракт с «Локомотивом» Майкла Пелино.
За полтора сезона в «Локомотиве» Магнус провел 71 матч, в которых забросил 15 шайб и отдал 17 результативных передач. При этом периодически леворукий нападающий демонстрировал свой высочайший потенциал, попадая в число лучших игроков недели и в ТОП взятий ворот.
В результате обмена между московским «Динамо» и «Локомотивом» хоккеист пополнил ряды бело-голубых в сезоне 2020/21.
Победитель Мемориала Глинки — 2008
Серебряный призёр Чемпионата Мира среди молодёжи — 2008
Серебряный призёр Чемпионата Мира среди молодёжи — 2009
Бронзовый призёр Чемпионата Мира — 2010
Серебряный призёр Чемпионата Мира — 2011
Чемпион Мира — 2018