Тему Пулккинен — воспитанник финского хоккея. Выпускник школы «Йокерита» из Хельсинки.

Профессиональную карьеру начал в составе «Йокерита», в котором он прошел путь от юниорской команды U16 до игры в основе. Признавался лучшим новичком Чемпионата Финляндии — 2011, и становился бронзовым призером Чемпионата Финляндии — 2012.

В 2010 году был выбран на Драфте НХЛ под общим 111-м номером клубом «Детройт Ред Уингз», за который провел 70 матчей. На протяжении пяти сезонов выступал в Северной Америке — в НХЛ за клубы «Миннесота Уайлд» и «Аризона Койотис», а в АХЛ за клубы «Гранд-Рапидс Гриффинс», «Айова Уайлд» и «Чикаго Вулвз».

В 2013 году в составе «Гранд-Рапидс Гриффинс» стал обладателем Кубка Колдера. В 2015 выиграл приз лучшему снайперу АХЛ — «Уилли Маршалл Эворд». Регулярно входил в число лучших нападающих Лиги, дважды участвовал в Матче Звезд АХЛ. В 2018 году стал игроком минского «Динамо», где провел полтора сезона.

Привлекался к игре за юниорскую, молодежную и национальную сборные Финляндии. Дважды был бронзовым призером Юниорского Чемпионата мира — в 2009 и 2010. Становился серебряным призером Чемпионата Мира — 2016.

В состав московского «Динамо» нападающий перешел в декабре 2019 года в результате обмена на денежную компенсацию. К этому моменту на счету Тему Пулккинена было 83 сыгранных матча и 56 (32+24) очков в Чемпионате КХЛ.