Воспитанник московского ЦСКА. Первый тренер — Борис Штанько. В настоящее время является игроком московского «Динамо», выступающего в КХЛ.
Максим Соловьёв начал свою профессиональную карьеру в 1997 году в составе родного московского ЦСКА. В 1999 году Максим перешёл в «Крылья Советов», а перед началом следующего сезона стал игроком новокузнецкого «Металлурга». В 2001 году Соловьёв подписал контракт с подмосковным «Витязем», где в течение трёх лет он был одним из самых результативных защитников. В 2004 году Максим перешёл в ХК МВД, в котором выступал вплоть до расформирования клуба в 2010 году.
Перед началом сезона 2010/2011 Соловьёв впервые подписал контракт с московским «Динамо».
Обладатель Кубка Открытия - 2010, 2012, 2013
Чемпион России - 2012, 2013
Обладатель Кубка Гагарина - 2012, 2013
Обладатель Кубка мэра Москвы - 2012, 2014, 2016
Обладатель Кубка Континента - 2014
Третий призёр чемпионата России - 2015
Обладатель Кубка им. А.И.Чернышева - 2016